GUÍA  TÉCNICA: Métodos cuantitativos para el análisis de riesgos

2 MÉTODOS PARA LA DETERMINACIÓN DE FRECUENCIAS                                            

MÉTODOS PARA LA DETERMINACIÓN DE FRECUENCIAS

Introducción

Bases matemáticas

Fiabilidad: conceptos básicos

Fiabilidad/ disponibilidad de distintos tipos de componentes

Tasa de fallos

Leyes de distribución de la tasa de fallos

Fiabilidad y disponibilidad de un sistema

Determinación de la tasa de fallo de un suceso básico

Determinación de frecuencias de sucesos complejos

2.3 FIABILIDAD: CONCEPTOS BASICOS

2.3.1 Fiabilidad/disponibilidad de distintos tipos de componentes

Se puede definir un sistema corno una entidad determinística que comprende un conjunto discreto de elementos que interaccionan.

Se denomina componente a cualquier elemento de un sistema.

La definición más ampliamente admitida de la fiabilidad de un componente es: «probabilidad de que desempeñe la función para la cual ha sido diseñado bajo unas condiciones determinadas y durante un espacio de tiempo especificado». En esta definición se desprenden cuatro conceptos importantes:

1. La importancia de las condiciones de trabajo del componente.

2. La definición de la función del componente que implicitamente conduce a la noción de fallo o modo de fallo.

3. La dependencia respecto del tiempo.

4. Tal como se define es una probabilidad y, por tanto, es un valor comprendido entre [ 0, 1].

Fallo de un componente: puede abarcar desde la pérdida de prestaciones o no funcionamiento a pleno rendimiento, hasta una interrupción completa de la misión a realizar (fallo catastrófico).

Modo de fallo: se puede definir como la modalidad mediante la cual el componente deja de funcionar. Va estrechamente unido a la causa que produce el fallo o al modelo matemático utilizado para representarlo. Ejemplo: no apertura de una válvula de seguridad o apertura intempestiva.

La expresión matemática general de la fiabilidad R(t) de un componente que está operando, es:

donde t es el tiempo de operación considerado y λ(t) es la tasa de fallo del componente. Esta expresión se deduce del siguiente desarrollo.

Se define en primer lugar la variable aleatoria z como: «instante en que se produce el fallo de un sistema».

La función de distribución F(t) de esta variable aleatoria se define, entonces, como la probabilidad de que el sistema falle entre el instante t = 0 y t. Se supone que el sistema está operativo en el instante t = 0.

F(t) = P {z ≤ t}

F(t):     función de distribución de la variable aleatoria Z.

z:         instante del fallo.

t:          tiempo.

P {  }:  probabilidad.

La probabilidad complementaria de F(t) o probabilidad de que el sistema sobreviva a un tiempo t se define como la fiabilidad del sistema R(t):

R(t) = 1 - F(t) = P {z > t}                        (1)

La función de densidad de la variable aleatoria representa la probabilidad de que el fallo ocurra entre t y t + ∆t.

f (t) ∆t = P {t ≤ z ≤ t + ∆t }                      (2)

se cumple también que:

Se define a la tasa de fallos instantánea λ(t), de tal forma que,λ(t) ∆t, representa, la probabilidad de que el fallo del sistema ocurra entre t y t + ∆t, suponiendo que estaba operativo en t. Es decir:

λ(t) ∆t = P {t < z < t + ∆t/z > t}            (4)

Esta probabilidad es una probabilidad condicionada de dos sucesos y tal como se indicaba el Teorema de las probabilidades compuestas, puede escribirse como:

que a su vez es igual a:

en esta expresión se identifica (1) y (2) por lo que substituyendo en (4) resulta:

de donde y utilizando (3):

es decir,

Integrando entre 0 y t:

ya que R(0) = 1 (el sistema está operativo en el instante t = 0).

De donde, finalmente se obtiene la expresión general de la fiabilidad de un sistema (expresión (0):

Esta expresión es una función de distribución tal como se definió en el apartado 2.2.2 y su función de densidad de fallos se expresa, tal como se indica en la expresión (3), como derivada de la fiabilidad con respecto del tiempo; así:

(ya que f(t) = λ(t) . R (t)            ver (5)

La media o esperanza matemática de esta función se conoce como MTTF (Mean Time To Failure o tiempo medio hasta el fallo) y representa la vida media del componente; se expresa como:

El concepto complementario de R(t) es, la infiabilidad F(t) o probabilidad de que se produzca el fallo del componente durante el período de tiempo t. Se expresa como:

La expresión (1) corresponde a componentes no reparables. Si se considera que el componente es reparable esto significa que tras un fallo el componente entra en un ciclo de reparación (ver figura 2. l). Se define en este caso el concepto de mantenibilidad M(t) como la probabilidad de que un componente se repare en un período de tiempo comprendido entre 0 y t. Se puede dar a M(t) un tratamiento similar al comentado para la fiabilidad R(t), definiéndose una tasa parecida a la λ(t), la tasa de reparación o μ(t). En el caso de componentes reparables, la disponibilidad es la variable que representa más adecuadamente al componente.

Disponibilidad de un componente: es la probabilidad A(t) de que el componente esté operativo en un instante t.

Su expresión matemática es la siguiente:

donde λ es la tasa de fallos y μ la tasa de reparación adoptando en ambos casos una distribución exponencial.

Se asume que el componente se reincorpora al sistema «como nuevo».

Se define el tiempo medio de reparación como MTTR (Mean Time To Repair o tiempo medio de reparación) como:

El concepto dual de MTTF es en este caso el de MTBF (Mean Time Between Failure o tiempo medio entre fallos) que cumple:

MTBF = MTTF + MTTR

El concepto complementario de la disponibilidad de un componente es el de su indisponibilidad Q(t) que se define como:

Q (t) = 1 - A(t)

Para componentes no reparables coinciden los valores de fiabilidad y disponibilidad. (Ver figura 2.2).